Notes sur la conférence de D. Dubois introductive de l'école d'été ISIPTA (Montpellier, 2-8 juillet 2008)

Il faut distinguer la connaissance générique, qui porte sur les classes, de l'évidence singulière ): désolé pour la traduction :( qui porte sur les objects ou situations uniques. Tirer des conclusions à propos d'un cas demande de combiner les deux types d'information.

Soit un tableau de données, à chaque ligne on a observé si A s'est produit ou pas, et si B s'est produit ou pas. La croyance à propos de l'implication matérielle "si B alors A" i.e. "A si B" ou "A|B" devrait être fonction
- croissante de la proportion d'exemples "A ∩ B", mais aussi
- décroissante de la proportion de contre-exemple "(¬ A) ∩ B"
- indifférente aux autres cas "¬ B".
Remarque: deux propositions contraposées "B⇒A" et "¬A ⇒ ¬B" ont les mêmes contre exemple mais des exemples différents. Cela fait que leur niveau de certitude tiré du tableau ne seront pas nécessairement les mêmes.
La logique modale aléthique correspondant à la théorie des possibilités booléennes répond au doux nom de KD45.
Dans une logique modale on a un opérateur ☐ qui signifie "je sais". Considérons la proposition A: le président est vivant.
La formule "A ou ¬A" est une tautologie.
Mais pas la formule "☐ A" ou "☐ ¬ A" qui dit que je suis informé en haut lieu.

D'habitude un ensemble est une réunion d'objets: un service de six verres. En probabilité on utilise des ensembles disjonctifs: les valeurs sont mutuellement exclusives. En fin de compte, il n'y a qu'un seul verre qui est le bon.
C'est aussi la différence entre théorie des possibilités et théorie floue. Une distribution de possibilité est portée par un ensemble flou disjonctif.

Comme la théorie des possibilités n'est pas additive, les niveaux de possibilité peuvent prendre leurs valeurs sur un ensemble ordonné pas forcément numérique: treillis, chaîne... Cela fait qu'en pratique il y a deux branches de la théorie, la qualitative et la quantitative qui utilise [0,1].

Un pari échangeable c'est une proposition dans laquelle A demande à B de proposer son prix pour un bien contingent... en se réservant l'option d'acheter ce bien à B à ce prix au lieu de le lui vendre. Comme ça B est incité à donner un prix correct sinon il se fait dépouiller !

Faire des probabilités imprécises c'est mettre ensemble la logique et les probabilités. On peut toujours voir une BBA de deux façons: comme un ensemble généralisé (aléatoire), ou comme une probabilité généralisée (imprécise).
Là où en probabilités précises il y a un opérateur (règle Bayes par ex.), en probabilité imprécises il y a en plusieurs généralisations. Il ne s'agit pas de savoir quelle est la bonne, mais quelles sont les hypothèses justifiant l'utilisation de telle ou telle généralisation.
On s'aperçoit en particulier que la probabilité de "A si B" n'est pas la même chose que "la probabilité si B" de A. Dans le premier cas, on s'intéresse à un pari contingent à B alors que dans le second cas, on met d'abord à jour les croyances en apprenant que B est vrai.

Final tidbits

En théorie des possibilités c'est l'information négative qui est intéressante, le résultat donne ce qui est impossible.

In Evidence Theory, discounting a testimony assumes that the witness invented the information. This is not the same as assuming he lies deliberately.

Hacking's Frequency Principle (Hacking, 1965): If the objective probability of A is p then the subjective probability of A is p.

Dans le cas général l'adjoint de Pl se note Cr pour certainty.

Papier à écrire depuis 10 ans: La précaution comme l'incomplétude des préférences.